Anleihen-Konvexitäts-Rechner

Wie der Anleihen-Konvexitäts-Rechner funktioniert und wozu er nützlich ist

Der Anleihen-Konvexitäts-Rechner berechnet Konvexität, modifizierte Duration und Macaulay-Duration sowie den aktuellen Anleihenpreis und liefert damit eine präzise Sensitivitätsanalyse gegenüber Renditeänderungen. Diese Kennzahlen helfen, das Zinsrisiko eines Festzinsinstruments zu beurteilen, Preisänderungen bei Zinsbewegungen abzuschätzen und Hedging-Entscheidungen zu unterstützen. Insbesondere korrigiert die Konvexität die lineare Näherung der Duration für größere Renditeänderungen und liefert dadurch genauere Preisprognosen.

Wesentliche Formeln

• Konvexität: Konvexität = Σ[CF × t × (t+1) / (1+y)^t] / [P × (1+y)²] / f²
• Modifizierte Duration: Modifizierte Duration = Macaulay-Duration / (1 + Rendite/Frequenz)
• Preisänderung (Näherung): ΔP/P ≈ -Modifizierte Duration × Δy + 0,5 × Konvexität × (Δy)²

CF steht für die Cashflows (Kuponzahlungen und Rückzahlung), y für die Rendite pro Periode, P für den aktuellen Preis und f für die Zahlungsfrequenz pro Jahr (z. B. 1 für jährlich, 2 für halbjährlich).

Wie Sie den Anleihen-Konvexitäts-Rechner verwenden (Schritt für Schritt)

1. Geben Sie den Nennwert der Anleihe ein (Beispiel: 10.000 €).
2. Tragen Sie die Kuponrate in Prozent ein (z. B. 8,5 für 8,5%).
3. Geben Sie die Rendite bis zur Fälligkeit in Prozent ein (z. B. 7,2 für 7,2%).
4. Wählen Sie die Jahre bis zur Fälligkeit (z. B. 5 Jahre).
5. Wählen Sie die Zahlungsfrequenz: jährlich, halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich.
6. Optional: Wählen Sie eine Renditeänderung für die Sensitivitätsanalyse (z. B. 0,5% oder 1,0%).
7. Klicken Sie auf Berechnen, um folgende Ergebnisse zu erhalten:
   • Anleihenpreis (aktueller Preis)
   • Macaulay-Duration
   • Modifizierte Duration
   • Anleihenkonvexität (Krümmungsmaß)
   • Sensitivitätsanalyse: geschätzte Preisänderungen bei Renditeerhöhung und -senkung
8. Nutzen Sie Zurücksetzen, um neue Eingaben vorzunehmen.

Tipp: Achten Sie darauf, alle erforderlichen Felder auszufüllen. Die Zahlungsfrequenz beeinflusst sowohl die Duration als auch die Konvexität und damit die Genauigkeit der Schätzungen.

Praktische Beispiele

Beispiel 1: Zero-Coupon-Anleihe (klare Illustration)

Angaben:

• Nennwert: 10.000 €
• Kuponrate: 0 % (Zero-Coupon)
• Rendite bis zur Fälligkeit: 5 % (0,05)
• Jahre bis zur Fälligkeit: 5
• Zahlungsfrequenz: jährlich

Berechnungsergebnis (vereinfachte Herleitung):

• Preis P = 10.000 / (1,05)^5 ≈ 7.835,26 €
• Macaulay-Duration = 5 Jahre (bei Nullkupon entspricht die Duration der Laufzeit)
• Modifizierte Duration = 5 / (1 + 0,05) ≈ 4,7619
• Konvexität = T × (T + 1) / (1 + y)² = 5 × 6 / (1,05)² ≈ 27,21

Sensitivitätsbeispiel: Bei einer Renditeerhöhung um 1 Prozentpunkt (Δy = 0,01) ergibt die Näherung:
ΔP/P ≈ -4,7619 × 0,01 + 0,5 × 27,21 × (0,01)² ≈ -0,047619 + 0,0013605 ≈ -0,0462585 → -4,63%

Das heißt: Der Preis würde schätzungsweise um etwa 4,6 % fallen. Die Konvexität reduziert den negativen Effekt gegenüber der reinen Duration-Schätzung und liefert eine genauere Vorhersage für größere Δy.

Beispiel 2: Kuponanleihe — Sensitivitätsanalyse für Portfolioentscheidungen

Angaben (Beispielwerte):

• Nennwert: 10.000 €
• Kuponrate: 4 %
• Rendite bis zur Fälligkeit: 3,5 %
• Laufzeit: 7 Jahre
• Zahlungsfrequenz: halbjährlich

Vorgehen mit dem Rechner:

1. Ermitteln Sie den aktuellen Preis und die Macaulay-Duration.
2. Berechnen Sie die modifizierte Duration, indem Sie die Frequenz berücksichtigen (Rendite/Frequenz).
3. Ermitteln Sie die Konvexität (der Rechner summiert die gewichteten Barwerte aller Cashflows gemäß Formel).
4. Führen Sie eine Sensitivitätsanalyse durch mit verschiedenen Δy (z. B. +0,5 %, +1,0 %), um die Auswirkungen auf Ihr Portfolio zu sehen.

Anwendung: Investmentmanager können so entscheiden, ob ein Bond-Holdings mit höherer Konvexität in einem volatilen Umfeld vorteilhafter ist, oder ob eine Duration- oder Konvexitätsanpassung über Derivate (z. B. Zinsfutures, Swaps) sinnvoll ist.

Fazit: Vorteile des Anleihen-Konvexitäts-Rechners

• Präzisere Preisprognosen: Durch die Kombination von Duration und Konvexität lassen sich Preisänderungen bei größeren Renditebewegungen besser abschätzen.
• Verbessertes Risikomanagement: Der Rechner hilft, Zinsrisiko und die Auswirkungen von Marktvolatilität auf Anleihepositionen zu quantifizieren.
• Effiziente Portfolioanalyse: Schnelle Vergleichsberechnungen verschiedener Anleihen ermöglichen fundierte Allokations- und Hedging-Entscheidungen.
• Einfacher Einstieg: Intuitive Eingabefelder für Nennwert, Kupon, Rendite, Restlaufzeit und Frequenz machen den Rechner für Analysten und Investmentmanager unmittelbar nutzbar.

Nutzen Sie den Anleihen-Konvexitäts-Rechner, um fundierte Entscheidungen zu treffen, Renditeänderungen realistisch einzuschätzen und Ihre Zinsrisikostrategien zu optimieren.