Stetigkeitskorrektur-Rechner

Wie die Stetigkeitskorrektur-Rechner funktioniert und wofür er nützlich ist

Der Stetigkeitskorrektur-Rechner berechnet Binomialwahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Normalapproximation sowohl ohne als auch mit Stetigkeitskorrektur. Bei diskreten Verteilungen wie der Binomialverteilung wird zur Anwendung der stetigen Normalverteilung eine Korrektur um 0,5 Einheiten vorgenommen, um die Genauigkeit der Approximation zu verbessern. Das Tool liefert Mittelwert, Varianz, Standardabweichung, die approximierte Wahrscheinlichkeit ohne Korrektur, die Wahrscheinlichkeit mit Korrektur sowie die Differenz zwischen beiden Ergebnissen.

Die Anwendung ist besonders nützlich für Statistikstudierende, Forschende und Praktiker, die schnell beurteilen wollen, ob die Normalapproximation geeignet ist und wie stark die Stetigkeitskorrektur das Ergebnis verändert. Die Korrektur ist relevant, wenn die Anzahl der Versuche klein ist oder die Erfolgswahrscheinlichkeit nahe 0 oder 1 liegt.

Wie verwenden Sie die Stetigkeitskorrektur-Rechner (Schritt für Schritt)

Eingabefelder

• Anzahl der Versuche (numberOfTrials). Beispiel: 100
• Wahrscheinlichkeit des Erfolgs (probabilityOfSuccess). Beispiel: 0.5
• Anzahl der Erfolge (numberOfSuccesses). Beispiel: 45
• Wahrscheinlichkeitstyp (probabilityType): Genau, Höchstens (X ≤ k), Mindestens (X ≥ k), Weniger als (X < k), Mehr als (X > k)

Berechnungsschritte

1. Prüfen Sie die Verteilungsparameter:

   Mittelwert (mu) = n * p

   Varianz = n * p * (1 - p)

   Standardabweichung (sigma) = sqrt(n * p * (1 - p))

2. Wählen Sie den Wahrscheinlichkeitstyp und bestimmen Sie das Intervall für die Normalapproximation mit oder ohne Stetigkeitskorrektur:
   • Genau (X = k): Intervall k - 0.5 bis k + 0.5
   • Höchstens (X ≤ k): bis k + 0.5
   • Mindestens (X ≥ k): ab k - 0.5
   • Weniger als (X < k): bis k - 0.5
   • Mehr als (X > k): ab k + 0.5
3. Berechnen Sie ohne Korrektur den z-Wert: z = (x - mu) / sigma, wobei x das diskrete Schwellenwertäquivalent ist.
4. Berechnen Sie mit Korrektur die z-Werte für die oben bestimmten Grenzen.
5. Lesen Sie die entsprechenden Standardnormalverteilungswerte ab, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten.
6. Das Tool gibt zusätzlich Empfehlungen zur Gültigkeit der Normalapproximation basierend auf np und n(1-p).

Praktische Beispiele

Beispiel 1: Gute Approximation (n = 100, p = 0.5, k = 45, Typ: Höchstens)

Gegeben: n = 100, p = 0.5.

Mittelwert mu = 100 * 0.5 = 50.

Standardabweichung sigma = sqrt(100 * 0.5 * 0.5) = 5.

Wahrscheinlichkeitstyp: Höchstens (X ≤ 45).

Ohne Korrektur: z = (45 - 50) / 5 = -1.0 => P ≈ 0.1587.

Mit Stetigkeitskorrektur: Grenze 45 + 0.5 = 45.5, z = (45.5 - 50) / 5 = -0.9 => P ≈ 0.1841.

Unterschied in der Wahrscheinlichkeit ≈ 0.0254. Interpretation: Bei ausreichend großem n liefert die Korrektur eine moderate Anpassung, die die Approximation verbessert.

Beispiel 2: Kleine Stichprobe, Correction wichtig (n = 10, p = 0.1, k = 0, Typ: Höchstens)

Gegeben: n = 10, p = 0.1.

Mittelwert mu = 10 * 0.1 = 1.

Standardabweichung sigma = sqrt(10 * 0.1 * 0.9) ≈ 0.9487.

Wahrscheinlichkeitstyp: Höchstens (X ≤ 0), also P(X = 0).

Ohne Korrektur: z = (0 - 1) / 0.9487 ≈ -1.0541 => P ≈ 0.1459.

Mit Stetigkeitskorrektur: Grenze 0 + 0.5 = 0.5, z = (0.5 - 1) / 0.9487 ≈ -0.5270 => P ≈ 0.2991.

Exakte binomiale Wahrscheinlichkeit P(X = 0) = 0.9^10 ≈ 0.3487. Die Approximation mit Korrektur (0.2991) liegt deutlich näher am exakten Wert als die Approximation ohne Korrektur (0.1459). Fazit: Bei kleinem n oder extremen p ist die Stetigkeitskorrektur besonders wichtig.

Formeln und Prüfungen

Verwendete Formeln:

• Binomialparameter: mu = n * p
• Varianz: n * p * (1 - p)
• Standardabweichung: sigma = sqrt(n * p * (1 - p))
• Z-Wert-Berechnung: z = (x - mu) / sigma

Approximationbedingungen (Bedingungsprüfung):

• Gute Normalapproximation: np ≥ 10 und n(1-p) ≥ 10
• Mäßige Approximation: 5 ≤ np < 10 oder 5 ≤ n(1-p) < 10
• Schlechte Approximation: np < 5 oder n(1-p) < 5

Wichtiger Hinweis und Empfehlung

Stetigkeitskorrektur verbessert die Genauigkeit der Normalapproximation für diskrete Verteilungen, besonders wenn n klein ist oder p nahe bei 0 oder 1 liegt. Verwenden Sie die Korrektur standardmäßig, wenn Sie die Approximation zur Schätzung diskreter Binomialwahrscheinlichkeiten nutzen. Prüfen Sie außerdem die Bedingungen für die Validität der Normalapproximation: Wenn np und n(1-p) groß genug sind, sind beide Approximationen in der Regel näher an den exakten Werten, wobei die korrigierte Version häufig noch bessere Übereinstimmung liefert.

Schlussfolgerung: Vorteile des Stetigkeitskorrektur-Rechners

Der Stetigkeitskorrektur-Rechner spart Zeit und reduziert Fehler bei der Abschätzung von Binomialwahrscheinlichkeiten mit Normalapproximation. Vorteile im Überblick:

• Schnelle Gegenüberstellung von Ergebnissen mit und ohne Stetigkeitskorrektur
• Automatische Berechnung von Mittelwert, Varianz und Standardabweichung
• Klare Hinweise zur Gültigkeit der Approximation und Empfehlungen
• Verbesserte Genauigkeit bei kleinen Stichproben oder extremen Erfolgswahrscheinlichkeiten

Nutzen Sie das Tool, um fundierte Entscheidungen in statistischen Analysen zu treffen und um zu sehen, wie stark die Stetigkeitskorrektur das Ergebnis beeinflusst.