Sehnenlängenrechner - Länge einer Kreissehne berechnen

Wie funktioniert der Sehnenlängenrechner und wofür ist er nützlich

Der Sehnenlängenrechner berechnet die Länge einer Sehne in einem Kreis auf Basis von Radius und einem der folgenden Parameter: Zentralwinkel, Sehnenhöhe oder Apothem. Zusätzlich liefert das Tool zugehörige Werte wie Bogenlänge und Sektorfläche sowie grundlegende geometrische Zusammenhänge. Das macht den Rechner besonders praktisch für Geometriestudenten, Ingenieure, Architekten, Fertigungsplaner und Vermessungsingenieure.

Die Grundidee beruht auf elementaren Kreisgeometrie-Formeln. Bei bekanntem Radius R und Zentralwinkel α (in Radiant) ist die Sehnenlänge s gleich 2·R·sin(α/2). Wird statt des Winkels die Sehnenhöhe h angegeben, ergibt sich s über die Beziehung s = 2·sqrt(2·R·h - h²). Alternativ kann die Angabe des Apothems a verwendet werden, wobei a = R - h und s = 2·sqrt(R² - a²) gilt.

Der Rechner unterstützt verschiedene Einheiten für Längen und Winkel und rechnet die Ergebnisse präzise aus. Ergebnisangaben umfassen üblicherweise die Sehnenlänge, die Bogenlänge (L = R·α für α in Radiant) und die Sektorfläche (A = 0.5·R²·α). Zusätzlich können Dreiecks- und Segmentflächen berechnet werden, die in Architektur- und Ingenieurprojekten häufig benötigt werden.

Wie man den Sehnenlängenrechner verwendet (Schritt für Schritt)

Vorbereitung

• Wählen Sie die gewünschte Längeneinheit (z. B. Millimeter, Zentimeter, Meter).
• Wählen Sie die Winkeleinheit: Grad oder Radiant. Stellen Sie sicher, dass alle Winkel in der gewählten Einheit eingegeben werden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Radius eintragen: Geben Sie den Radius R des Kreises ein. Beispielplatzhalter im Rechner erleichtern die Eingabe.
2. Berechnungsmethode wählen: Entscheiden Sie, ob Sie den Zentralwinkel, die Sehnenhöhe oder das Apothem verwenden möchten.
3. Passenden Wert eingeben:
   • Bei Zentralwinkel: α eingeben (Grad oder Radiant).
   • Bei Sehnenhöhe: h eingeben (Abstand vom Sehnenmittelpunkt zum Bogen).
   • Bei Apothem: a eingeben (Abstand vom Kreismittelpunkt zum Sehnenmittelpunkt).
4. Berechnen drücken: Klicken Sie auf Berechnen, um Sehnenlänge, Bogenlänge, Sektorfläche und weitere Werte zu erhalten.
5. Ergebnisse prüfen und Einheiten beachten: Achten Sie auf konsistente Einheiten und auf die Ausgabeformate.

Fehlerquellen und Tipps

• Negative oder ungültige Werte vermeiden. Radius und Längen müssen positiv sein.
• Bei Eingabe von Grad den Winkel korrekt konvertieren lassen oder vorher manuell in Radiant umrechnen (Radiant = Grad·π/180).
• Bei sehr kleinen Winkeln kann numerische Genauigkeit relevant sein. Verwenden Sie bei Bedarf Radiant-Eingabe für präzisere trigonometrische Berechnungen.
• Wenn α größer als 360° oder negativ ist, überprüfen Sie das Eingabekonzept, normalerweise liegt α im Bereich 0 bis 2π (0 bis 360°).

Verwendete Formeln

• Sehnenlänge bei gegebenem Zentralwinkel α (Radiant): s = 2 · R · sin(α / 2)
• Sehnenlänge bei gegebener Sehnenhöhe h: s = 2 · sqrt(2 · R · h - h²)
• Sehnenlänge bei gegebenem Apothem a: s = 2 · sqrt(R² - a²)
• Bogenlänge (α in Radiant): L = R · α
• Sektorfläche (α in Radiant): A = 0.5 · R² · α
• Dreiecksfläche zwischen Kreiszentrum und Sehne: T = 0.5 · R² · sin(α) = 0.5 · s · a
• Sektorsegmentfläche: Segment = A - T

Praktische Beispiele

Beispiel 1: Zentralwinkel verwenden

Angaben: Radius R = 2 m, Zentralwinkel α = 60°.

Rechnung: Zuerst α in Radiant umrechnen: α = 60° · π/180 = π/3 ≈ 1.0472 rad. Sehnenlänge s = 2 · 2 · sin(1.0472 / 2) = 4 · sin(0.5236) = 4 · 0.5 = 2 m. Bogenlänge L = R · α = 2 · 1.0472 ≈ 2.094 m. Sektorfläche A = 0.5 · R² · α = 0.5 · 4 · 1.0472 ≈ 2.094 m².

Beispiel 2: Sehnenhöhe verwenden

Angaben: Radius R = 1 m, Sehnenhöhe h = 0.2 m.

Rechnung: Sehnenlänge s = 2 · sqrt(2·1·0.2 - 0.2²) = 2 · sqrt(0.4 - 0.04) = 2 · sqrt(0.36) = 2 · 0.6 = 1.2 m. Apothem a = R - h = 0.8 m. Alternativ s = 2 · sqrt(R² - a²) = 1.2 m. Dieser Wert stimmt mit der Berechnung über Apothem überein.

Beispiel 3: Apothem verwenden

Angaben: Radius R = 5 cm, Apothem a = 4.8 cm.

Rechnung: Sehnenlänge s = 2 · sqrt(5² - 4.8²) = 2 · sqrt(25 - 23.04) = 2 · sqrt(1.96) = 2 · 1.4 = 2.8 cm. So lässt sich schnell die Größe einer Öffnung oder eines Ausschnitts für Fertigung und Design bestimmen.

Anwendungen und nützliche Hinweise

• Architektur: Planung von Bögen, Gewölben und gekrümmten Fassadenelementen.
• Ingenieurwesen: Berechnung von Tragelementen, Brückenbögen und Tunnelausschnitten.
• Fertigung: Zuschnitt und Werkzeugwege für gekrümmte Bauteile.
• Vermessung: Abgrenzung und Flächenbestimmung bei gekrümmtem Gelände.

Wichtiger Hinweis

Die Sehne ist das gerade Liniensegment, das zwei Punkte auf dem Kreis verbindet. Die Sehnenhöhe ist der senkrechte Abstand vom Sehnenmittelpunkt zum Bogen. Das Apothem ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zum Sehnenmittelpunkt.

Fazit: Nutzen und Vorteile des Sehnenlängenrechners

Der Sehnenlängenrechner bietet eine schnelle und präzise Möglichkeit, Sehnenlängen sowie zugehörige Größen wie Bogenlänge und Sektorfläche zu ermitteln. Er spart Zeit bei Entwurfs- und Berechnungsaufgaben, reduziert Rechenfehler und liefert sofort verständliche Ergebnisse in verschiedenen Einheiten. Für Anwender aus Bildung, Bauwesen, Fertigung und Vermessung ist das Tool ein hilfreiches Hilfsmittel, um Entwürfe zu prüfen, Materialbedarf zu berechnen und geometrische Zusammenhänge klar darzustellen.

Praktische Tipps: Achten Sie auf konsistente Einheiten, wählen Sie die passendste Berechnungsmethode für Ihre verfügbaren Daten und prüfen Sie bei extrem kleinen Winkeln oder sehr großen Radien die numerische Genauigkeit. So erzielen Sie verlässliche Ergebnisse für Planungen und technische Entscheidungen.