Calculadora de Decomposição de Cholesky

Como funciona a calculadora de decomposição de Cholesky

A calculadora de decomposição de Cholesky transforma matrizes simétricas e definidas positivas na forma A = L·Lᵗ, onde L é uma matriz triangular inferior e Lᵗ é sua transposta. Essa técnica é amplamente utilizada em álgebra linear, estatística multivariada e simulações de Monte Carlo.

Ferramenta essencial para engenheiros, estatísticos, matemáticos e cientistas de dados que trabalham com sistemas lineares, análise de covariância, otimização numérica e métodos computacionais avançados.

O que é a decomposição de Cholesky?

A decomposição de Cholesky é uma forma de fatoração de matriz onde uma matriz simétrica e definida positiva A é decomposta como:

A = L · Lᵗ

• A: matriz original (simétrica e definida positiva)

• L: matriz triangular inferior

• Lᵗ: transposta de L

Essa fatoração é preferida por sua estabilidade numérica e eficiência em comparação com outras abordagens, como a decomposição LU, quando a matriz atende aos requisitos.

Exemplo prático com matriz 2×2

Vamos utilizar a calculadora com a matriz:

A = [3 1]
    [1 2]

Apenas a parte inferior foi preenchida, pois a matriz é simétrica. A calculadora retorna:

• Determinante: 5 → a matriz é definida positiva

• L:

  [1.7321  0    ]
  [0.5774  1.291]

• Lᵗ:

  [1.7321  0.5774]
  [0      1.291 ]

Verificação:
L · Lᵗ = A, confirmando a validade da decomposição.

Quando a decomposição de Cholesky pode ser usada?

Para que a decomposição de Cholesky seja válida, a matriz A deve obedecer a três critérios:

• Ser simétrica: Aᵗ = A

• Ser definida positiva: todos os autovalores são positivos

• Ser quadrada: número de linhas = número de colunas

Essas condições garantem que a matriz L será real e triangular inferior.

Para que serve a decomposição de Cholesky?

Essa decomposição é amplamente utilizada em:

• Resolução de sistemas lineares: Ax = b → L·Lᵗx = b

• Otimização numérica: métodos como gradiente conjugado

• Análise estatística: decomposição de matrizes de covariância

• Simulações de Monte Carlo: geração de variáveis multivariadas

• Processamento de sinais: modelagem de ruídos e filtragem

Sua simplicidade e eficiência a tornam uma ferramenta de destaque em computações científicas.

A matriz deve sempre ser simétrica?

Sim. A simetria é uma condição obrigatória para a decomposição de Cholesky. Se A não for simétrica, a fatoração falhará. Isso ocorre porque o produto L·Lᵗ gera automaticamente uma matriz simétrica, então o processo inverso só é válido nesse tipo de estrutura.

Exemplo de matriz simétrica válida:

[4 2]
[2 3]

Exemplo de matriz não simétrica (inválida):

[4 1]
[2 3]

A decomposição é única?

Sim, desde que a matriz A seja definida positiva, a decomposição de Cholesky é única. Cada matriz A possui uma única matriz L com elementos positivos na diagonal principal que satisfaz a relação A = L·Lᵗ.

Essa característica é especialmente útil em cálculos que exigem estabilidade e precisão, como os métodos de otimização de segunda ordem.

Tabela com exemplos de decomposição de Cholesky

Matriz A	Decomposição L	Det(A)	Status
[3 1; 1 2]	[1.7321 0; 0.5774 1.291]	5	Definida Positiva
[4 2; 2 3]	[2.0000 0; 1.0000 1.0000]	4	Definida Positiva
[2 -1; -1 2]	[1.4142 0; -0.7071 1.2247]	3	Definida Positiva
[1 0; 0 1]	[1.0000 0; 0 1.0000]	1	Definida Positiva

Como saber se uma matriz é definida positiva?

Uma matriz é definida positiva se:

• Todos os seus autovalores são positivos

• Todos os menores principais (determinantes dos sub-blocos superiores esquerdos) são positivos

A calculadora realiza automaticamente essa verificação antes de executar a decomposição.