Calculadora da Conjectura de Collatz - Sequência 3n+1 com Gráfico

Como funciona a calculadora da Conjectura de Collatz (Sequência 3n+1)

A calculadora da Conjectura de Collatz permite gerar e analisar sequências numéricas fascinantes baseadas na regra 3n+1 para números ímpares e n/2 para números pares. Essa ferramenta é ideal para estudantes, professores e entusiastas da matemática que desejam explorar padrões complexos de forma visual e interativa.

Ela exibe estatísticas detalhadas, gráficos interativos, o número máximo alcançado, média da sequência e todos os passos com operações realizadas. Um recurso educacional avançado que ajuda a entender um dos problemas matemáticos mais intrigantes e ainda não resolvidos da história.

O que é a Conjectura de Collatz?

A Conjectura de Collatz, também conhecida como problema 3n+1, foi proposta por Lothar Collatz em 1937. Ela afirma que, qualquer número inteiro positivo, ao ser submetido às seguintes regras, sempre chegará ao número 1:

• Se for par, divide-se por 2 (n ÷ 2)

• Se for ímpar, multiplica-se por 3 e soma 1 (3n + 1)

Apesar de sua simplicidade, o problema continua sem uma prova matemática definitiva que funcione para todos os inteiros positivos. Ainda assim, milhões de testes computacionais confirmam que, até hoje, nenhum número desafia essa regra.

Como funciona a fórmula 3n+1

A lógica da sequência de Collatz segue duas operações simples, dependendo da paridade do número atual:

• n par: aplicar n ÷ 2

• n ímpar: aplicar 3n + 1

Essa alternância cria sequências com oscilações imprevisíveis e comportamentos que desafiam qualquer tentativa de padrão fixo. Mesmo começando por números pequenos, é possível atingir valores altos antes de finalmente convergir para 1.

Exemplo com o número 12

Vamos usar a calculadora com o número 12. Veja os passos realizados:

Sequência gerada:
12 → 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Estatísticas principais:

• Total de passos: 9

• Valor máximo atingido: 16

• Média da sequência: 6

• Operações pares (n ÷ 2): 7 (77,8%)

• Operações ímpares (3n + 1): 2 (22,2%)

• Passo onde atinge o máximo: 5

Quais números geram sequências mais longas?

Números relativamente pequenos podem gerar sequências surpreendentemente longas. Por exemplo:

Esses dados mostram o comportamento imprevisível da sequência. O número 27, por exemplo, gera 111 passos e atinge mais de 9000 antes de cair para 1.

A sequência sempre termina em 1?

Até onde se sabe, sim. Milhões (ou até trilhões) de números já foram testados por computadores e todos terminam em 1. No entanto, como não há uma prova matemática geral, a conjectura continua oficialmente “não resolvida”.

O interesse matemático está justamente nessa resistência à prova formal, mesmo com tanta evidência empírica.

Para que serve essa calculadora?

A calculadora da Conjectura de Collatz é uma ferramenta com várias aplicações:

• Ensino de lógica e matemática discreta

• Estudo de padrões numéricos

• Visualização de sequências matemáticas

• Exploração computacional de problemas abertos

Ela também ajuda a desenvolver o raciocínio algorítmico e promove o interesse pela matemática experimental.

Como interpretar o gráfico da sequência?

A ferramenta exibe um gráfico onde o eixo horizontal representa o número do passo e o eixo vertical, o valor da sequência naquele momento. Esse gráfico revela:

• A escalada do número até seu pico máximo

• A queda rápida ou gradual até chegar a 1

• O comportamento oscilante da sequência

Visualizar a sequência facilita o entendimento do comportamento numérico e destaca o quão alto certos números podem chegar antes de cair para o final.

A Conjectura de Collatz já foi provada?

Não. Apesar de parecer simples e já ter sido testada em bilhões de casos, ainda não existe uma demonstração matemática geral válida para todos os inteiros positivos. Esse mistério matemático atrai pesquisadores até hoje.

O fato de ser fácil de explicar, mas difícil de resolver, é o que torna a Conjectura de Collatz um tema tão popular e intrigante.