Calculadora de Descomposición de Cholesky

Cómo funciona la calculadora de descomposición de Cholesky

La calculadora de descomposición de Cholesky permite descomponer matrices simétricas definidas positivas en el formato A = L·Lᵗ, donde L es una matriz triangular inferior. Es una herramienta clave para resolver sistemas de ecuaciones lineales y realizar análisis numérico y estadístico multivariado.

Este método es utilizado ampliamente por ingenieros, matemáticos y científicos de datos en aplicaciones como simulaciones de Monte Carlo, procesamiento de señales, análisis de covarianza y algoritmos de optimización computacional.

¿Qué es la descomposición de Cholesky?

La descomposición de Cholesky es una técnica de álgebra lineal que transforma una matriz simétrica y definida positiva A en el producto de una matriz triangular inferior L y su transpuesta Lᵗ:

A = L · Lᵗ

Esto permite resolver ecuaciones del tipo Ax = b de forma más eficiente que otros métodos directos, especialmente en matrices grandes o esparcidas.

Requisitos de la matriz

Para que sea válida la descomposición de Cholesky, la matriz debe cumplir dos condiciones:

• Ser simétrica: A = Aᵗ

• Ser definida positiva: todos los valores propios (eigenvalores) deben ser positivos

Si se cumplen estas condiciones, se garantiza que existe una matriz L tal que A = L·Lᵗ.

Ejemplo práctico con matriz 2×2

Dada la matriz:

A =
[3 1]
[1 2]

1. Verificamos que es simétrica y definida positiva.

2. Calculamos la descomposición de Cholesky:

   • Determinante: 5

   • Dimensiones: 2×2

   • Matriz válida ✔️

Resultado:

L =
[1.7321 0]
[0.5774 1.291]

Lᵗ =
[1.7321 0.5774]
[0 1.291]

Verificación:
L·Lᵗ = A =
[3 1]
[1 2]

Esto confirma que la descomposición es correcta.

¿Por qué usar Cholesky en lugar de otros métodos?

• Eficiencia: menos operaciones que otros métodos como LU o inversas explícitas

• Estabilidad numérica: útil en matrices grandes y sistemas con alta precisión

• Aplicabilidad directa: útil en modelos estadísticos y algoritmos de aprendizaje automático

Es especialmente ventajosa en matrices de covarianza o problemas donde la simetría y positividad están garantizadas.

¿Cómo se calcula la matriz L?

El cálculo se hace fila por fila, usando las siguientes fórmulas:

• Para la diagonal:
  Lᵢᵢ = √(Aᵢᵢ - ∑(Lᵢₖ)²)

• Para los elementos fuera de la diagonal:
  Lⱼᵢ = (Aⱼᵢ - ∑(Lⱼₖ × Lᵢₖ)) / Lᵢᵢ

Donde k va de 1 a i - 1. El proceso se repite hasta completar la matriz triangular inferior L.

¿Qué sucede si la matriz no es definida positiva?

Si la matriz no cumple los requisitos (por ejemplo, tiene un valor propio negativo), la descomposición de Cholesky no es posible. En estos casos, se debe recurrir a otros métodos de factorización como LU o QR.

Aplicaciones más comunes

La descomposición de Cholesky es ampliamente utilizada en:

• Resolución de sistemas lineales Ax = b

• Optimización numérica y cálculo matricial

• Análisis de covarianza en estadísticas

• Simulaciones de Monte Carlo

• Filtros de Kalman y machine learning

Su capacidad para simplificar problemas complejos la convierte en una herramienta esencial en la ingeniería moderna y la ciencia de datos.

Tabla de ejemplos simples

Matriz A	Matriz L calculada
[4 2] [2 3]	[2 0] [1 1.41]
[9 3] [3 5]	[3 0] [1 2]
[1 0] [0 1]	[1 0] [0 1]
[3 1] [1 2]	[1.7321 0] [0.5774 1.291]

Cada ejemplo muestra cómo se obtiene L a partir de A, facilitando el análisis y la resolución de ecuaciones.